Bildgröße
Zur Bestimmung der Bildgröße aus dem Problem, a zu bestimmen
Aufgabe
In einem vorhergehenden Artikel (Winkelausdehnung) wurde die Winkelausdehnung a einer Quelle durch optische Abbildung bestimmt - jedenfalls im Prinzip. Wenn die Abbildung insbesondere verkleinernd wirkt, ist die Messung der Bildgröße nicht mit hinreichender Genauigkeit möglich. Das folgende Verfahren führt trotz einer Messunsicherheit von ca. +/- 3 % noch zu einer brauchbaren Abschätzung der Bildgröße.
Rezept
Man benötigt ein abbildendes System, 1 variable Blende und eine feststehende Blende, die - bei verkleinernder Abbildung - größer (sonst kleiner) als die Abbildung sein muss. Der Durchmesser der variablen Blende muss mit einer Unsicherheit von <1mm und alle Abstände mit ebenfalls < 1 mm bestimmbar sein.
Vorgehensweise:
Zunächst wird die Quelle scharf abgebildet (bei IR oder UV geeignete Schirme oder Video-Einrichtungen verwenden). Die eingestrahlte Leistung wird gemessen = 100% (s. Abb. 1).
Mit der (größeren) variablen Blende wird das abbildende System soweit abgeblendet, dass der Messempfänger noch 63% der Leistung anzeigt. Der zugehörende Durchmesser der Messblende wird abgelesen (D), Abstand zum Bild: b. Diese Blende wird entfernt.
Die feste Blende (Durchmesser d) wird solange verschoben, bis der Messempfänger ebenfalls noch 63% der Leistung anzeigt (Abstand s vom Bild).
Abb. 1
Nach dem Strahlensatz gilt die Beziehung
nach der gesuchten Bildgröße aufgelöst gilt
Das macht MathCad maschinell! :-)
Die Bildgröße ist danach gegeben durch ...
Messunsicherheit
Der Durchmesser D der "großen Blende" kann innerhalb von 1 mm genau bestimmt
werden.
mm
Der Durchmesser d der "kleinen Blende" ist fest vorgegeben. Die Unsicherheit spielt
keine Rolle.
Die Strecke s ist kritisch und bei rel. flachem Strahlverlauf nicht sehr genau. Die Unsicherheit dürfte bei +/- 3 mm liegen.
mm
Die Unsicherheit beim Abstand Linse - Bild liegt im Bereich der Lage der Haupteben zuzüglich einer Maßstabsunsicherheit (Ablesefehler, Strichstärke, Temperatur).
mm
Diese Unsicherheit überträgt sich auch auf den Nenner (b-s). Man sollte diese Größe
unbedingt nachmessen und sich nicht auf die Differenzbildung verlassen. Denn dabei addieren sich u.U. einzelne Unsicherheiten.
mm
Nach den Regeln der Fehlerfortpflanzung (pfui!) ergeben sich folgende Terme, wobei
die Formel mit Hilfe einer Größe a = b-s vereinfacht wird:
Fehlergewichte G... ...
Für den mittleren, quadratischen Fehler ergibt sich folgender Bandwurm, bezogen auf die gefundene Bildgröße:
Wir haben zusammen mit a fünf Einflussgrößen:
Def. Fehlervektor:
Def. Gewichtsvektor:
das sind die Gewichtsfunktionen
aus der formalen Differentiation (s.o.),
quadriert
Die Wurzel aus dem skalaren Produkt ergibt den mittleren quadratischen Fehler.
Dieser wird auf den Funktionswert bezogen
Ein 1. Beispiel:
große Blende:
alles in mm
Bildabstand:
kl. Blende:
Schiebestr.
Reststrecke
:->
also rund 6 mm
also rund 8% oder: Der Erwartungswert der Bildgröße B63 liegt zwischen
und
mm
Der kritischere Wert ist der kleinere; er führt zu einem kleineren C6.

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