Verweilzeit im Umkehrpunkt

- ein Programm für den Taschenrechner HP 50g und Vergleichbare -

Anwendungsfall: Ein Laserstrahl wird durch Schwingsspiegel (nicht durch Motoren) bewegt. Kritisch ist die Verweilzeit in einem ungünstig positionierten Zuschauer - Auge. Eine einfache Abschätzung aus der Geschwindigkeit ist nicht möglich, weil die Geschwindigkeit im Umkehrpunkt kurzzeitig =0 ist. Gleichwohl ist die Verweildauer endlich - und die kann man mit dem nachfolgenden Modell berechnen.

Strahlbewegung

Folgende 5 Eingaben werden benötigt:

Scan-Winkel zwischen den Umkehrpunkten γ_max[°]
Abstand zwischen Schwingspiegel und nächstem Zuschauer ab[m]
Strahldurchmesser am Scanner d0[mm]
Divergenz ε[mrad]
Wiederholfrequenz f[Hz]

Es gilt das Folgende:

Ist der Strahldurchmesser < 7mm, so gilt D = 7 mm:
allgemein: D = MAX(7; d0 + ab * ε)*0.001
Die Kreisfrequenz für die Winkelfunktionen ω = 2 * π * f
Der Winkelbereich wird am Umkehrpunkt mit der Kreisfrequens (cosinusförmig) durchlaufen.
(Sinus an der Stelle ω * t = π/2 geht auch, ist aber geringfügig umständlicher.)
γ(t) = 0,5 * γ_max * cos(ω * t)
Der Treffer beginnt, wenn der Strahl das Auge gerade erreicht,
nicht über das Auge hinaus schwingt und endet, wenn er das Auge wieder verläßt.
Die beiden Zeitpunkte liegen symmetrisch zur maximalen Auslenkung bei ω*t = 0.
Man braucht also nur den ausgehenden Wert zu ermitteln. Der eingehende Wert hat nur umgekehrtes Vorzeichen, so dass man den ermittelten Wert nur verdoppeln muss.
Δt = 2 * t₁
Für t₁ gilt:
ab * γ(t₁) = ab * γ_max/2 - D
oder: ab * 0,5 * γ_max * cos(ω * t₁) = ab * γ_max/2 - D
oder: cos(ω * t₁) = 1 - D / (ab * 0,5 * γ_max)
und t₁ =(1/ω)* arc cos(1 - D / (ab * 0,5 * γ_max))
Achtung: Gemeint ist hier der Winkel γ_max in Radiants!
Damit wird die Verweildauer Δt = (2/ω)* arc cos(1 - 2 * 180 * D / (ab * γ_max * π))) in s.
Hat ein Taschenrechner alle Winkelfunktionen und deren Inverse, ist damit das Problem gelöst. Hat der Taschenrechner nur eine Wurzel-Funktion kommt man in sehr guter Näherung ebenfalls "zu Potte". Es gilt nämlich für den arc cos(1 - w) ~ √(2 * w)
So gilt eben auch: Δt ~ (4/ω) * √(D * 180/(ab * γ_max * π))

Für den HP50g wird die Formel, als eine reine Textdatei, wie folgt codiert:

%%HP: T(3)A(R)F(.);
\<< \-> \Ggmx ab d0 dvg f        @5 Parameter, intern: γ_max ab d0 f @
    \<< 2. \pi * f * dvg ab * d0 + 7. MAX .001 * @intern D berechnen@
        \-> \Gw D                @intern ablegen in ω D@
        \<< D 2. * 180. *        @Formel für  Δt @
              \Ggmx \pi * ab * /
              1. SWAP - ACOS 2. * \Gw /
              EVAL               @numerische Auswertung@
        \>>
    \>>
\>>

Beispiel:

35 [ENTER] γ_max in [°] Stackebene 5
11.5 [ENTER] Abstand [m] Stackebene 4
1.5 [ENTER] Strahl am Spiegel [mm] Stackebene 3
1.5 [ENTER] Divergenz [mrad] Stackebene 2
30 [ENTER] Wiederholfrequenz [Hz] Stackebene 1
[DTA] durch "DTA" definierte Softmenü-Taste
1.10 Impulsdauer [ms] Stackebene 1 (Anzeige)

Die Programme werden kostenfrei abgegeben - Irrtümer und Tippfehler vorbehalten. Es obliegt dem Benutzer, vor Verwendung eigene Tests durchzuführen und mit Erwartungswerten zu vergleichen.

Quelle: Eigene Herleitung

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